Как обновить скрипт до более новой версии той же линейки? Например, с 1.38 до 1.39.

Нужно обновить файлы, сохранив все внесённые изменения (в конфиге и шаблонах).

На всякий случай обязательно делайте бекап.

Возможно потребуется внести изменения в таблицы баз данных. В данном случае нужно найти в архиве файл update.php, забросить его в папку jsale на сервер и открыть в браузере. Затем файл следует удалить.

Как сделать апгрейд до более продвинутой версии? Например, с Mini до Pro.

Всё просто. Нужно просто загрузить недостающие модули и выставить настройки.